Question

【題目】如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．

（1）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C；
（2）設(shè)二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC⊥側(cè)面A1C

∴EN⊥側(cè)面A1C

NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影

則由 ，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）解：連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME

由（1）可知EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ

設(shè)∠FAC=α則0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE= ，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ= ，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故當(dāng)α=45°時(shí)，tanθ達(dá)到最小值，

tanθ= ，此時(shí)F與C1重合．

【解析】（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1 ， 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，根據(jù) ，得NF∥AC1 ， 又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂線定理可得結(jié)論；（2）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF，則∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ= ，根據(jù)α的范圍可求出最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題．