Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)A，B為函數(shù)f（x）=1-x²的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，C，D為函數(shù)f（x）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且C，D在x軸上方（不含x軸），則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍為（-4，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{4}$]．

Answer 1

分析 由題意A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x₁，1-x₁²），D（x₂，1-x₂²），-1＜x₁，x₂＜1，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（x₁+1）（x₂-1）+（1-x₁²）（1-x₂²）=（x₂-1）[（x₂+1）x₁²+x₁-x₂]，
構(gòu)造函數(shù)記f（x）=（x₂+1）x²+x-x₂，-1＜x＜1，應(yīng)先將f（x）求導(dǎo)，再令f'（x）=0，得出x₀，再討論x₀與區(qū)間（-1，1）的關(guān)系，即可求出則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍．

解答 解：由題意A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x₁，1-x₁²），D（x₂，1-x₂²），-1＜x₁，x₂＜1，
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（x₁+1）（x₂-1）+（1-x₁²）（1-x₂²）=（x₂-1）[（x₂+1）x₁²+x₁-x₂]．
記f（x）=（x₂+1）x²+x-x₂，-1＜x＜1．
（1）當(dāng)-1＜x₂≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，則0＜2（x₂+1）≤1，-$\frac{1}{2（{x}_{2}+1）}$≤-1，
又x₂+1＞0，所以f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（-1）=0，f（1）=2，
所以0＜f（x）＜2．又x₂-1＜0，
所以2（x₂-1）＜$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$＜0．
根據(jù)-1＜x₂≤-$\frac{1}{2}$，
則-4＜$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$＜0．
（2）當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x₂＜1時(shí)，則1＜2（x₂+1）＜1，-1＜-$\frac{1}{2（{x}_{2}+1）}$＜-$\frac{1}{4}$．
又x₂+1＞0，
所以f（x）在（-1，1）上先減后增，x=-$\frac{1}{2（{x}_{2}+1）}$時(shí)取的最小值f（-$\frac{1}{2（{x}_{2}+1）}$）=-[x₂+$\frac{1}{4{x}_{2}+1）}$]，
又f（1）=2，
所以x₂+$\frac{1}{4{x}_{2}+1）}$＜f（x）＜2．
又x₂-1＜0，
所以2（x₂-1）＜$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$≤[x₂+$\frac{1}{4{x}_{2}+1）}$]（1-x₂）．
令g（x）=x（1-x）+$\frac{1-x}{4（x+1）}$，
則g（x）=-x²+x-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2（x+1）}$，
g'（x）=1-2x-$\frac{1}{2（x+1）^{2}}$=-$\frac{4{x}^{3}+6{x}^{2}-1}{2（x+1）^{2}}$=-$\frac{（2x+1）（x-\frac{\sqrt{3}-1}{2}）（x+\frac{\sqrt{3}+1}{2}）}{2（x+1）^{2}}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$時(shí)，g'（x）＞0
當(dāng)$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0；
所以g（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）上先增后減，
所以g（x）_max≤g（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{4}$，
又2（x₂-1）＞-3，所以-3＜$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{4}$，
綜上，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍是（-4，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{4}$]．
故答案為：（-4，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題以向量為載體，考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，最值的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的思想是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)算量大，屬于難題．