Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．將△ABD沿邊AB折起，使得△ABD與△ABC成直二面角D-AB-C，如圖二，在二面角D-AB-C中．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）求D、C之間的距離；
（3）求DC與面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BD⊥面ABC，即可證明BD⊥AC；
（2）依題意建立空間直角坐標系使得△ABC在yoz平面上，由已知條件分別求出點C和點D的空間坐標，利用空間兩點間的距離公式能求出D、C之間的距離．
（3）由題設(shè)取AB的中點H，連結(jié)CH、DH和DC，證明∠CDH為直線DC與面ABD所成的角，即可求出CD與平面ABD所成的角．

解答： （1）證明：∵面ABD⊥面ABC，面ABD∩面ABC=AB，BD?面ABD，BD⊥AB，
∴BD⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，∴BD⊥AC…（4分）
（2）解：∵BD⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BD⊥BC
在Rt△DBC中，BC=BA=2，BD=2，∴DC=

DB2+BC2

=

22+22

=2

2

…（8分）
（3）解：取AB的中點H，連結(jié)CH、DH和DC，則
∵△ABC是正三角形，∴CH⊥AB，
又∵面ABD⊥面ABC，∴CH⊥面ABD，即DH是DC在面ABD內(nèi)的射影
則∠CDH為直線DC與面ABD所成的角                          …（10分）
∵CH=

3

2

BC=

3

，DC=2

2

，
∴sin∠CDH=

CH

DC

=

6

4

故直線DC與面ABD所成的角的正弦值為

6

4

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直的證明，考查空間兩點間的距離的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．