Question

觀察以下各等式：
sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=

3

4

sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=

3

4

分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊余弦均為正弦度數(shù)加30°，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論

解答： 解：觀察以下各式：
∵sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

，sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=

3

4

，
∴sin²30°+cos²（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=

3

4

，sin²20°+cos²（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=

3

4

，
 于是根據(jù)各式的共同特點，則具有一般規(guī)律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

3

4

．
證明：左邊=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=

1-cos2α

2

+

1+cos(600+2α)

2

+

sin(300+2α)-sin300

2

=1+

cos(600+2α)-cos2α

2

+

1

2

[sin(300+2α)-

1

2

]
=1+

-2sin(300+2α)sin300

2

+

1

2

[sin(300+2α)-

1

2

]
=

3

4

-

1

2

sin(300+2α)+

1

2

sin(300+2α)=

3

4

=右邊．

點評：本題主要考查了歸納推理，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），屬基礎(chǔ)題．