Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)（a_n，S_n）代入直線y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$方程可知S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，并與S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{3}{2}$作差，整理可知a_n=3a_n-1（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，從而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可得S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{3}{2}$，
兩式相減得：a_n=$\frac{3}{2}$（a_n-a_n-1），即a_n=3a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{3}{2}$，即a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₃a_n=b_n=log₃3ⁿ=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．