Question

2．已知函數(shù)f（x）=lg|x|．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）畫出f（x）的圖象草圖；
（3）利用定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，再用定義判斷f（x）是定義域上的偶函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，畫出f（x）圖象的草圖即可；
（3）根據(jù)x∈（-∞，0）時(shí)f（x）的解析式，用定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg|x|，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）；
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=lg|-x|=lg|x|=f（x），
∴f（x）是定義域上的偶函數(shù)；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
畫出f（x）圖象的草圖，如圖所示；
（3）∵x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=lg（-x），
∴用定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)如下：
任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=lg（-x₁）-lg（-x₂）=lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，∴l(xiāng)g$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)圖象的畫法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．