Question

7．（1）已知函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定義域為R，求實數a的取值范圍．
（2）已知函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+a）的值域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）數函數的定義得出不等式x²-2x+a＞0恒成立，可以得出△=4-4a＜0，即可求解
（2）此函數的值域為R，等價于真數ax²-2x+a能取遍一切正實數，由a=0時，顯然成立，a≠0時，利用二次函數的圖象性質得關于a的不等式，即可解得a的范圍

解答 解：（1）解：∵函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定義域為R
∴不等式x²-2x+a＞0恒成立，
即△=4-4a＜0，
∴a＞1，
故實數a的取值范圍：a＞1；
（2）若函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+a）的值域為R，故函數y=ax²-2x+a能取遍所有的正數．
當a=0時符合條件；
∵函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，
∴y=ax²-2x+a圖象不能夠在x軸上方，
當a＞0時，應有△=4-4a²≥0，解得a≥1，或a≤-1，故a≥1，
綜上知實數a的取值范圍是[1，+∞）或a=0．

點評 本題考查了對數函數的定義性質，二次函數的性質，不等式的成立問題，屬于中檔題，關鍵利用二次函數性質得出△=4-4a＜0，△≥0的條件．