Question

9．函數(shù)f（x）=ln$\root{3}{x+1}$-$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的導(dǎo)數(shù)是f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．

Answer 1

分析 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可．

解答 解：f（x）=ln$\root{3}{x+1}$-$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{\root{3}{x+1}}$•（$\root{3}{x+1}$）′-$\frac{1}{3}$（x²-x+1）（$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$）′
=$\frac{1}{\root{3}{x+1}}$•$\frac{1}{3}$（x+1）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+$\frac{1}{3}$（x²-x+1）$\frac{2x-1}{（{x}^{2}-x+1）^{2}}$；
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{2x-1}{{x}^{2}-x+1}$，
=$\frac{1}{3}$•$\frac{3{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$，
=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．