Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-1，函數(shù)g（x）=2tlnx，t≤1．
（1）如果函數(shù)f（x）與g（x）在x=1處的切線均為l，求切線l的方程及t的值；
（2）討論函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令f′（1）=g′（1）解出t，利用點(diǎn)斜式方程得出切線方程；
（2）判斷h（x）的單調(diào)性，對(duì)極值點(diǎn)$\sqrt{t}$與1的大小進(jìn)行討論得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x，$g'（x）=\frac{2t}{x}$，（x＞0）．
∴切線l的斜率k=f′（1）=g′（1）．即k=2t=2，解得t=1．
又∵切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．所以切線l的方程為2x-y-2=0；   
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2tlnx，（x＞0）．
則$h'（x）=2x-\frac{2t}{x}=\frac{{2{x^2}-2t}}{x}$．
①當(dāng)t≤0時(shí)，h′（x）＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又因?yàn)閔（1）=0，所以y=h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)． 
②當(dāng)0＜t≤1時(shí)，令h′（x）=0，解得$x=\sqrt{t}$．
當(dāng)x變化時(shí)，${h^'}_{^{\;}}（x）$與h（x）的變化情況如下表所示：

x	（0，$\sqrt{t}$）	$\sqrt{t}$	（$\sqrt{t}$，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴h（x）在$（0，\sqrt{t}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{t}，+∞）$上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)$x=\sqrt{t}$時(shí)，$h{（x）_{min}}═h（\sqrt{t}）$．
∵h(yuǎn)（1）=0，
當(dāng)t=1時(shí)，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)1．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，$\sqrt{t}＜1$，∴h（$\sqrt{t}$）＜h（1）=0．
∵0＜e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$＜1，h（e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$）=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$-1-2tlne${\;}^{-\frac{1}{2t}}$=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$＞0，
∴存在x₀∈（0，1）使得h（x₀）=0．
∴函數(shù)y=h（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x₀，1．
綜上，當(dāng)t=1或t≤0時(shí)，h（x）=f（x）-g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h（x）=f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．