Question

1．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|-1，又g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤1}\\{\frac{lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=g（x）-kx在區(qū)間[-7，+∞）上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2e}$）
• C． （$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出過原點(diǎn)的直線與y=$\frac{lnx}{x}$相切的直線的斜率，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x），可知函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)；
對(duì)于函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜0，
∴y=$\frac{lnx}{x}$在（1，e）上為增函數(shù)，在（e，+∞）上為減函數(shù)，$f（x）_{max}=\frac{1}{e}$．
作出函數(shù)y=g（x）與y=kx的圖象如圖：

設(shè)直線y=kx與y=$\frac{lnx}{x}$的切點(diǎn)為（${x}_{0}，\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$），函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$在x=x₀處的導(dǎo)函數(shù)為$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切線方程為y-$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），把（0，0）代入，得${x}_{0}=\sqrt{e}$．
∴切點(diǎn)為（$\sqrt{e}，\frac{1}{2\sqrt{e}}$），則切線斜率為$\frac{1}{2}$，
又當(dāng)k=$\frac{1}{6}$時(shí)y=kx與g（x）在y軸左側(cè)有6個(gè)交點(diǎn)，∴k$＞\frac{1}{6}$．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2e}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．