Question

15．在半徑為R的球內(nèi)截取一個(gè)最大的圓柱，則其體積之比V_圓柱：V_球的比值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，為求出圓柱體積最大時(shí)的底面半徑，我們可以設(shè)圓柱體的底面半徑為r，進(jìn)而根據(jù)截面圓半徑、球半徑、球心距滿足勾股定理，可得R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，進(jìn)而得到其體積的表達(dá)式，然后結(jié)合基本不等式，得到圓柱體積最大時(shí)的底面半徑的值，即可求出V_圓柱：V_球．

解答 解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，則R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，
∴R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$r²+$\frac{1}{2}$r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$≥3$\root{3}{\frac{1}{16}{r}^{4}{h}^{2}}$，
∴r²h≤$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$
∴圓柱的體積V=πr²h≤$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)r²=$\frac{1}{2}$h²，即h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R時(shí)，V取最大值$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$．
∵V_球=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
∴V_圓柱：V_球=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R²=r²+d²．