Question

5．已知命題p：?x∈[2，4]，x²-2x-2a≤0恒成立，命題q：f（x）=x²-ax+1在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上是增函數(shù)．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)恒成立問題，求出p為真時的a的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出q為真時的a的范圍，從而判斷出p、q一真一假時的a的范圍即可．

解答 解：?x∈[2，4]，x²-2x-2a≤0恒成立，
等價于a≥$\frac{1}{2}$x²-x在x∈[2，4]恒成立，
而函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x在x∈[2，4]遞增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p為真命題，則a≥4；
f（x）=x²-ax+1在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上是增函數(shù)，
對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，∴a≤1，
若q為真命題，則a≤1；?
由題意知p、q一真一假，
當p真q假時，a≥4；當p假q真時，a≤1，
所以a的取值范圍為（-∞，1]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質，考查復合命題的判斷，是一道中檔題．