Question

從盛滿a（a＞1）升純酒精的容器里倒了1升然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續(xù)下去，問：
（1）第n次操作后溶液的濃度是多少？
（2）若a=2時，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%？

Answer 1

考點：等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)開始的濃度為1，操作n次后的濃度為a_n，可得數(shù)列{a_n}構(gòu)成a₁=1-

1

a

為首項，q=1-

1

a

為公比的等比數(shù)列，得通項公式即可得結(jié)論；
（2）當(dāng)a=2時，解不等式a_n=（

1

2

）ⁿ＜

1

10

可得．

解答： 解：（1）設(shè)開始的濃度為1，操作1次后的濃度為a₁=1-

1

a

，
操作n次后的濃度為a_n，則a_n+1=a_n（1-

1

a

），
∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成a₁=1-

1

a

為首項，q=1-

1

a

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（1-

1

a

）ⁿ，即第n次操作后溶液的濃度為（1-

1

a

）ⁿ；
（2）當(dāng)a=2時，可得a_n=（1-

1

a

）ⁿ=（

1

2

）ⁿ，
由a_n=（

1

2

）ⁿ＜

1

10

，解得n＞4
∴至少應(yīng)倒4次后才能使酒精的濃度低于10%

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式，涉及指數(shù)不等式的解集，屬基礎(chǔ)題．