Question

試比較2ⁿ與n²（n∈N^*）的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①易驗(yàn)證當(dāng)n=5時(shí)不等式成立，②假設(shè)n=k（k≥5，k∈N^*成立），利用該歸納假設(shè)，取推證當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ=2，n²=1，2ⁿ＞n²；
當(dāng)n=2時(shí)，2ⁿ=4，n²=4，2ⁿ=n²；
當(dāng)n=3時(shí)，2ⁿ=8，n²=9，2ⁿ＜n²；
當(dāng)n=4時(shí)，2ⁿ=16，n²=16，2ⁿ=n²；
當(dāng)n=5時(shí)，2ⁿ=32，n²=25，2ⁿ＞n²；
于是可猜測(cè)：2ⁿ＞n²（n≥5）．
證明：①當(dāng)n=5時(shí)，均有2ⁿ＞n²，不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥5，k∈N^*）時(shí)不等式成立，即2^k＞k²；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=2^k+1=2×2^k＞2k²，右邊=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k≥5，2k²-（k²+2k+1）=k²-2k-1=（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1＞（k+1）²，不等式成立；
綜上所述，2ⁿ＞n²（n≥5，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查變形、推理與論證的能力，屬于難題．