Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．當a∈（1，3）時，求證：函數(shù)f（x）存在反函數(shù)．

Answer 1

考點：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：去掉絕對值，化簡函數(shù)f（x），根據(jù)互為反函數(shù)的知識，判定函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，即可證明f（x）存在反函數(shù)．

解答： 證明：∵當x∈[1，6]，且a∈（1，3）時，
函數(shù)f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

-x- 9 x +2a，1≤x＜a x- 9 x ，     a≤x≤6

，
∴當1≤x＜a＜3時，f′（x）=-1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當a≤x≤6時，f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在[1，a）和[a，6]上存在反函數(shù)，
即f（x）在[1，6]上在存在反函數(shù)．

點評：本題考查了反函數(shù)的問題，根據(jù)互為反函數(shù)的知識，知函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，f（x）存在反函數(shù)；函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，而f（x）不一定是單調(diào)函數(shù)．