Question

2．已知數列{a_n}各項均為正數，其前n項和S_n滿足$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}+1$（n∈N₊）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系與等差數列的通項公式可得a_n；
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}+1$（n∈N₊）．
∴當n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}各項均為正數，∴a_n-a_n-1=2．
∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為2．
∴a_n=2n-1．
（2）${b_n}={a_n}•{2^{\frac{{{a_n}-1}}{2}}}$=（2n-1）•2^n-1．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系的應用、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．