Question

1．如圖所示，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D，D₁分別為AC，A₁C₁上的中點．
（1）證明AD₁∥平面BDC₁；
（2）證明BD∥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ACC₁A₁為平行四邊形可得AD₁∥DC₁，故而AD₁∥平面BDC₁；
（2）由平行四邊形的性質得出DD₁，AA₁，BB₁平行且相等，故而四邊形DBB₁D₁是平行四邊形，于是B₁D₁∥BD，從而得出BD∥平面AB₁D₁．

解答 證明：（1）∵AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，D，D₁分別是AC，A₁C₁上的中點，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$C₁D₁，
∴四邊形ADC₁D₁是平行四邊形，
∴AD₁∥DC₁，
又AD₁?平面BDC₁，DC₁?平面BDC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁．
（2）連結DD₁，
∵四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，D，D₁分別是AC，A₁C₁上的中點，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}A{A}_{1}$，又AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴四邊形DBB₁D₁是平行四邊形，
∴B₁D₁∥BD，
又BD?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁．，
∴BD∥平面AB₁D₁．

點評 本題考查了線面平行的判定，尋找平行線是證明此類問題的關鍵，屬于基礎題．