Question

6．已知動點P在直線x-y+2$\sqrt{2}$=0上移動，由點P向圓x²+y²=1引切線，則切線段長的最小值為$\sqrt{3}$；若P的橫坐標為$\sqrt{2}$，則過點P的在兩個坐標軸上的截距相等的直線方程是y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到要使切線段長最小，則圓心O到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離最小，由點到直線的距離公式求出O到直線的距離，再由勾股定理求得答案；求出P的坐標，當直線過原點時，直接得到直線方程，當直線不過原點時，設出直線方程的截距式x+y=a，代入點的坐標求得a值得答案．

解答 解：如圖，

圓的半徑為定值1，要使切線段長最小，則圓心O到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離最小，
由點到直線的距離公式求得O到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=2$，
∴切線段長的最小值為$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$；
P的橫坐標為$\sqrt{2}$，則P的縱坐標為3$\sqrt{2}$，即點P（$\sqrt{2}，3\sqrt{2}$），
當直線過原點時，直線方程為y=3x；
當直線不過原點時，設直線方程為x+y=a，則a=4$\sqrt{2}$．
此時直線方程為y=-x+4$\sqrt{2}$．
∴過點P的在兩個坐標軸上的截距相等的直線方程是y=3x或y=-x+$4\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{3}$；y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查了直線的截距式方程，是基礎題．