Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，AA₁=AB=2．
（1）求證：平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（3）求三棱錐D-BC₁C的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得BD⊥AC，BD⊥AA₁，由此能證明平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）連接B₁C，設B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，則OD∥AB₁．由此能證明AB₁∥平面BC₁D．
（3）由VD-BC1C=VC1-BDC，利用等積法能求出三棱錐D-BC₁C的體積．

解答： （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
∵側棱AA₁⊥底面ABC，BD?平面ABC，
∴BD⊥AA₁，
又AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
又BD?平面C₁BD，∴平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）證明：連接B₁C，設B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴點O為B₁C的中點．
∵D為AC的中點，
∴OD為△AB₁C的中位線，
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（3）解：∵側棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，AA₁=AB=2，
∴BD=

4-1

=

3

，S_△BDC=

1

2

×BD×CD=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴VD-BC1C=VC1-BDC=

1

3

×CC1×S△BDC=

1

3

×2×

3

2

=

3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．