Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2$\sqrt{3}$cosx）（x∈R），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$-1．
（1）求函數(shù)f（x）；
（2）已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若f（A）=2，B=$\frac{π}{4}$，邊AB=3，求邊BC的長．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得到f（x），進(jìn)一步化簡得到解析式；
（2）由（1）得到關(guān)于A的方程，解得A，結(jié)合已知，求得C，

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$-1=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）若f（A）=2，則f（A）=2cos（2A-$\frac{π}{3}$）=2，
即cos（2A-$\frac{π}{3}$）=1，則2A-$\frac{π}{3}$=0，解得A=$\frac{π}{6}$，
∵B=$\frac{π}{4}$，邊AB=3，
∴C=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$所以$\frac{BC}{sin\frac{π}{6}}=\frac{3}{sin\frac{7π}{12}}$，解得BC=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的恒等變形、利用正弦定理解三角形；計(jì)算稍繁，注意細(xì)心．