Question

18．以下命題：
①y=x+$\frac{1}{x}$≥2，
②若a＞0，b＞0且a+b=2，則ab≤1，
③$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$的最小值為4
④a∈R，a²+1＞2a．
其中正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 ①x＞0時y=x+$\frac{1}{x}$≥2，x＜0時y=x+$\frac{1}{x}$≤-2；
②利用基本不等式得出ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=1；
③利用基本不等式得出$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$≥4；
④舉例說明a=1時a²+1=2a．

解答 解：對于①，x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=1時取“=”；
x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$=-2，當且僅當x=-1時取“=”；∴①錯誤；
對于②，a＞0，b＞0且a+b=2時，
ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=1，當且僅當a=b=1時取“=”，∴②正確；
對于③，$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$=4，當且僅當$\sqrt{x}$=2時取“=”，∴③正確；
對于④，a=1時，a²+1=2a=2，∴④錯誤；
綜上，正確命題的序號為②③．
故答案為：②③．

點評 本題利用命題真假的判斷考查了基本不等式的應用問題，是綜合題．