Question

12．在平面直角坐標系xOy中，若曲線$y={a^2}{x^2}-\frac{b^2}{x}$（a，b為常數(shù)） 過點P（1，y₀），且該曲線在點P處的切線與直線2x-y+3=0平行，則$\frac{{8{b^2}+{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$取得最小值時y₀值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 將P的坐標代入曲線方程，求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，運用兩直線平行的條件：斜率相等，可得2a²+b²=2，再由乘1法和基本不等式可得最小值，求出取得等號的條件，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得y₀=a²-b²，
函數(shù)$y={a^2}{x^2}-\frac{b^2}{x}$的導數(shù)為y′=2a²x+$\frac{^{2}}{{x}^{2}}$，
由題意可得在P處的切線的斜率為2a²+b²=2，
則$\frac{{8{b^2}+{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$=$\frac{1}{2}$（2a²+b²）（$\frac{8}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=$\frac{1}{2}$（17+$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}$）
≥$\frac{1}{2}$（17+2$\sqrt{\frac{8^{2}}{{a}^{2}}•\frac{2{a}^{2}}{^{2}}}$）=$\frac{25}{2}$，
當且僅當$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}$，即有a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{2}{5}$時，取得最小值，
則y₀=$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．