Question

3．如圖，由部分拋物線y²=mx+1（m＞0，x≥0）和半圓x²+y²=r²（x≤0）所組成的曲線稱(chēng)為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）和（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求“黃金拋物線C”的方程；
（2）設(shè)P（0，1）和Q（0，-1），過(guò)點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1））（3，2）代入拋物線y²=mx+1，可得4=3m+1，m=1，（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入x²+y²=r²，可得r=1，即可求“黃金拋物線C”的方程；
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，則k_AQ=-k_BQ，求出A，B的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）（3，2）代入拋物線y²=mx+1，可得4=3m+1，∴m=1，
（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入x²+y²=r²，可得r=1．
∴“黃金拋物線C”的方程為拋物線y²=x+1（x≥0）和半圓x²+y²=1（x≤0）；
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，則k_AQ=-k_BQ，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，與x²+y²=1聯(lián)立，可得A（-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），
y=kx+1，與y²=x+1聯(lián)立，可得B（$\frac{1-2k}{{k}^{2}}$，$\frac{1-k}{k}$），
∴$\frac{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+1}{-\frac{2k}{1+{k}^{2}}}$=-$\frac{\frac{1-k}{k}+1}{\frac{1-2k}{{k}^{2}}}$，
∴k=-1±$\sqrt{2}$，
∴直線AB的方程為y=（-1±$\sqrt{2}$）x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與圓的方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．