Question

2．在三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，PB=PC=$\sqrt{3}$，平面ABC⊥平面PBC，若點P、A、B、C都在同一球面上，則該球的半徑等于1．

Answer 1

分析 由于PB=PC=$\sqrt{3}$，取BC的中點為O'，則PO'⊥BC，運用面面垂直的性質定理，可得PO'⊥平面ABC，即有O在PO'上，運用勾股定理計算即可得到球的半徑．

解答 解：由于PB=PC=$\sqrt{3}$，取BC的中點為O'，
則PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
在△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
在△PBC中，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，
PO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
設球心為O，則O在PO'上，
設球的半徑為R，
則在直角△PAO'中，AO²=OO'²+AO'²，
R²=（$\frac{3}{2}$-R）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
解得R=1．
故答案為：1．

點評 本題考查面面垂直的性質定理和球的截面的性質的運用，熟記這些定理是解題的關鍵．