Question

12．已知拋物線C：y=2x²，直線l：y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線C于點(diǎn)N．
（1）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N，若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M，N的坐標(biāo)，再由y=2x²的導(dǎo)數(shù)，可得在點(diǎn)N處的切線斜率，由兩直線平行的條件即可得證；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．由于M是AB的中點(diǎn)，則|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，運(yùn)用弦長公式計(jì)算化簡整理，即可求得k=±2，故存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．

解答 （1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
得x₁+x₂=$\frac{k}{2}$．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵x_N=x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{4}$，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{k}{4}$，$\frac{{k}^{2}}{8}$）．　　　　　
∵y′=4x，∴y′|${\;}_{x=\frac{k}{4}}^{\;}$=k，
即拋物線在點(diǎn)N處的切線的斜率為k．　　　　　　　　　　　　
∵直線l：y=kx+2的斜率為k，
∴l(xiāng)∥AB；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．
由于M是AB的中點(diǎn)，∴|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|．　　　　　　　　　　　　
由（Ⅰ）知y_M=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$（kx₁+2+kx₂+2）
=$\frac{1}{2}$[k（x₁+x₂）+4]=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{{k}^{2}}{2}$）=2+$\frac{{k}^{2}}{4}$，
由MN⊥x軸，則|MN|=|y_M-y_N|=2+$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{{k}^{2}}{8}$=$\frac{{k}^{2}+16}{8}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$　　　　　　　　　　
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4}-4×（-1）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16+{k}^{2}}$
由$\frac{16+{k}^{2}}{8}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16+{k}^{2}}$
∴k=±2，
則存在實(shí)數(shù)k=±2，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的條件，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．