Question

20．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BCA=90°，∠BAC=60°，AC=4，E為AA₁的中點，點F為BE的中點，點H在線段CA₁上，且A₁H=3HC，則線段FH的長為（　�。�

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 4
• C． $\sqrt{13}$
• D． 3

Answer 1

分析 以C為原點建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（0，4，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（4，0，m），A₁（4，0，2m）．可得F（2，2$\sqrt{3}$，$\frac{m}{2}$），H（1，0，$\frac{m}{2}$），利用空間兩點間的距離公式計算即可．

解答 解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系，
∵∠BCA=90°，∠BAC=60°，AC=4，∴BC=4$\sqrt{3}$，
則C（0，0，0），A（0，4，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（4，0，m），A₁（4，0，2m）．
∵點F為BE的中點，∴F（2，2$\sqrt{3}$，$\frac{m}{2}$），
∵點H在線段CA₁上，且A₁H=3HC，∴H（1，0，$\frac{m}{2}$）
∴FH=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2\sqrt{3}-0）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故選C．

點評 本題考查了空間兩點間的距離公式計算，屬于基礎題．