Question

17．在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a∈R）．
（1）寫出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁與C₂有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），化為ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）直線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a∈R），消去參數(shù)t化為x=a+y．代入圓的方程可得△＞0，解出即可．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），化為ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，配方為（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a∈R），消去參數(shù)t化為x=a+y．
代入圓的方程化為：2x²-（4+2a）x+a²+2a=0，
∵曲線C₁與C₂有兩個不同的交點，
∴△=（4+2a）²-8（a²+2a）＞0，
化為a²＜4，
解得-2＜a＜2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次的判別式滿足的條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．