Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對一切x∈R都有f′（x）＜4，則不等式f（x）＞4x-3的解集是

 

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Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其他不等式的解法

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，將不等式進行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式f（x）＞4x-3等價為f（x）-4x+3＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-4x+3，
則g'（x）=f'（x）-4，
∵對一切x∈R都有f′（x）＜4，
∴g'（x）=f'（x）-4＜0，
即函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∵足f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-4+3=1-4+3=0，
即不等式f（x）-4x+3＞0，
等價為g（x）＞g（1），
∵函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴x＜1．
故不等式的解集為{x|x＜1}．
故答案為：{x|x＜1}．

點評：本題主要考查不等式的解法，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．