Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)c＞0，對?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），則稱函數(shù)f（x）具有性質P．給定下列函數(shù)：①f（x）=3x-1；②f（x）=|x|；③f（x）=cosx；④f（x）=x³-x．具有性質P的函數(shù)的序號是

 

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Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)新定義可知，要使?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），利用函數(shù)的單調(diào)性結合定義分別去判斷．

解答： 解：①∵f（x）=3x-1在定義域R上單調(diào)增函數(shù)，
∴滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）具有具有性質P．
②∵f（x）=|x|，
∴若滿足f（x+c）＞f（x-c）恒成立，
即|x+c|＞|x-c|，
平方得cx＞0，
∵c＞0，∴不等式等價為x＞0，不滿足定義域為R，
故此函數(shù)f（x）不具有具有性質P．
③∵f（x）=cosx的最小正周期為2π，在定義域R上的不是單調(diào)增函數(shù)，
∴不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）不具有性質P．
④∵f（x）=x³-x
∴要想滿足f（x+c）＞f（x-c），
則（x+c）³-（x+c）＞（x-c）³-（x-c），
整理得3x²+c-1＞0，
要使不等式恒成立，
則判別式△=-4（c-1）＜0，
即c＞1，即可，∴存在常數(shù)c，滿足f（x+c）＞f（x-c）．故此函數(shù)f（x）具有性質P．
故答案為：①④

點評：本題主要考查新定義，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．考查學生的理解能力．