Question

18．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，則a_n=$\frac{1}{4n-3}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，求其通項公式后得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+4$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=4$，
又a₁=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=1+4（n-1）=4n-3$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{4n-3}$．
故答案為：$\frac{1}{4n-3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．