Question

9．設(shè)x≥0，利用求函數(shù)的最大（小）值的方法證明不等式：x³+4≥3x²．（提示：令f（x）=x³-3x²+4（x≥0））

Answer 1

分析 通過(guò)令f（x）=x³-3x²+4（x≥0），并對(duì)其求導(dǎo)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值，整理即得結(jié)論．

解答 證明：令f（x）=x³-3x²+4（x≥0），
則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）=0可知x=0或x=2，
故在區(qū)間[0，2]上f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）=x³-3x²+4單調(diào)遞減，
在區(qū)間[2，+∞）上f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）=x³-3x²+4單調(diào)遞增，
于是函數(shù)f（x）=x³-3x²+4在區(qū)間[0，+∞）上的最小值f（x）_min=f（2）=2³-3×2²+4=0，
故當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，即x³-3x²+4≥0，x³+4≥3x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值及其幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．