Question

10．已知p：方程x²-（3+a）x+3a=0在[-2，2]上有且僅有一解；q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²-2ax+3a≤0．若“命題p或q“是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 p：原方程化為（x-3）（x-a）=0，由于此方程在[-2，2]上有且僅有一解，因此a∈[-2，2]；q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²-2ax+3a≤0，可得△=0，解得a．由于“命題p或q“是假命題，可得p與q都是假命題，即可得出．

解答 解：p：方程x²-（3+a）x+3a=0化為（x-3）（x-a）=0，由于此方程在[-2，2]上有且僅有一解，因此a∈[-2，2]；
q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²-2ax+3a≤0，∴△=4a²-12a=0，解得a=0或a=3．
∵“命題p或q“是假命題，
∴p與q都是假命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2或a＞2}\\{a≠0且a≠3}\end{array}\right.$，
解得a＜-2，或a＞2且a≠3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-2，或a＞2且a≠3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、一元二次方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．