【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比,,.
(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將已知兩式作差,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得公比,由等比數(shù)列的求和可得首項(xiàng),進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得bn=n,,由裂項(xiàng)相消求和可得答案.
(1)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比,①,
②.
②﹣①,得,則,
又,所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以,
所以;
(2),
所以前項(xiàng)和.
【點(diǎn)睛】
裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和,常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,如或.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn),.函數(shù)滿足,且.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)能否保證和中至少有一個(gè)為正數(shù)?請證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)能
【解析】
(1)由f(1)=0,且a>b>c,可判斷a>0,c<0且b=﹣a﹣c,所以a>﹣a﹣c>c,從而可證明;(2)由題可知f(m1)=﹣a或f(m2)=﹣a,即m1或m2是方程f(x)=﹣a的一個(gè)實(shí)根,即ax2+bx+c+a=0有根,結(jié)合二次方程的實(shí)根存在條件即可證;(3)由f(x)=0的兩根中,其中一根為1,另一根為,結(jié)合二次方程的根的存在及二次函數(shù)的單調(diào)性可證.
(1)證明:,且,所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以,
(2)因?yàn)?/span>.
所以或,即或是方程的一個(gè)實(shí)根,
即有根,
所以,
因?yàn)?/span>,所以,
即,即,因?yàn)?/span>,所以
(3)設(shè)的兩根為,顯然其中一根為1,另一根為
設(shè),
若,則
所以,所以
又函數(shù)在上是增函數(shù),所以.
同理當(dāng)時(shí),
所以中至少有一個(gè)是正數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,棱長為1(單位:)的正方體木塊經(jīng)過適當(dāng)切割,得到幾何體,已知幾何體由兩個(gè)底面相同的正四棱錐組成,底面平行于正方體的下底面,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則幾何體體積的取值范圍是________(單位:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x﹣a|,x∈R
(1)若a<0,且log2f(x)>2對任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a>0,且關(guān)于x的不等式f(x)< x有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,,分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求的值;
(3)求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2﹣x2 , 則方程f(x)=sin|x|在[﹣3π,3π]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PB=PD=2,PA= .
(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)若E是PA的中點(diǎn),求三棱錐P﹣BCE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列中,公差,其前項(xiàng)和為,且滿足:.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.若也是等差數(shù)列,求非零常數(shù);
(Ⅲ)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知M( ,0),N(2,0),曲線C上的任意一點(diǎn)P滿足: = | |.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B,過N的任意直線(直線與x軸不重合)與曲線C交于R、Q兩點(diǎn),直線AR與BQ交于點(diǎn)S.問:點(diǎn)S是否在同一直線上?若是,請求出這條直線的方程;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別在各自不同的5場比賽所得籃板球數(shù)的莖葉圖如圖所示,已知兩名運(yùn)動(dòng)員在各自5場比賽所得平均籃板球數(shù)均為10.
(1)求x,y的值;
(2)求甲乙所得籃板球數(shù)的方差和,并指出哪位運(yùn)動(dòng)員籃板球水平更穩(wěn)定;
(3)教練員要對甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員籃板球的整體水平進(jìn)行評估.現(xiàn)在甲乙各自的5場比賽中各選一場進(jìn)行評估,則兩名運(yùn)動(dòng)員所得籃板球之和小于18的概率.
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