Question

已知關(guān)于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx²－4x＋4＝0,
② x²－4mx＋4m²－4m－5＝0，求方程①和②都有整數(shù)解的充要條件.

Answer 1

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解析試題分析：(1)判定是的什么條件，需要從兩方面去理解：一是由條件能否推得；二是由條件能否推得.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問(wèn)題形象化、直觀化外，還可以利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；（2)判斷充要條件的方法：（1）定義法：直接判斷若則、若則的真假；（2）等價(jià)法：利用與，
與，與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；（3）利用集合間的包含關(guān)系判斷：若，則是的充分條件或是的必要條件，若，則是的充要條件.
試題解析：解：方程①有實(shí)根的充要條件是解得m1.
方程②有實(shí)根的充要條件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
當(dāng)m=－1時(shí)，①方程無(wú)整數(shù)解.
當(dāng)m=0時(shí)，②無(wú)整數(shù)解；
當(dāng)m=1時(shí)，①②都有整數(shù).從而①②都有整數(shù)解m=1.反之，m=1①②都有整數(shù)解.
∴①②都有整數(shù)解的充要條件是m=1
考點(diǎn)：充要條件的探索.