Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x；
（3）設(shè)c＞1，證明當(dāng)x∈（0，1）時，1+（c-1）x＞c^x．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（2）由題意可得即證lnx＜x-1＜xlnx．運(yùn)用（1）的單調(diào)性可得lnx＜x-1，設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x-1＜xlnx成立；
（3）設(shè)G（x）=1+（c-1）x-c^x，求出導(dǎo)數(shù)，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜$\frac{c-1}{lnc}$＜c，由（1）可得c^x=$\frac{c-1}{lnc}$恰有一解，設(shè)為x=x₀是G（x）的最小值點(diǎn)，運(yùn)用最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-x+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即為lnx＜x-1＜xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）遞減，
可得f（x）＜f（1）=0，即有l(wèi)nx＜x-1；
設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）=1+lnx-1=lnx，
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，則原不等式成立；
（3）證明：設(shè)G（x）=1+（c-1）x-c^x，G′（x）=c-1-c^xlnc，
可令G′（x）=0，可得c^x=$\frac{c-1}{lnc}$，
由c＞1，x∈（0，1），可得1＜c^x＜c，即1＜$\frac{c-1}{lnc}$＜c，
由（1）可得c^x=$\frac{c-1}{lnc}$恰有一解，設(shè)為x=x₀是G（x）的最大值點(diǎn)，且0＜x₀＜1，
由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x₀）遞增，在（x₀，1）遞減，
可得G（x₀）=1+（c-1）x₀-c^x₀＞0成立，
則c＞1，當(dāng)x∈（0，1）時，1+（c-1）x＞c^x．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．