Question

6．用函數極限的定義證明下列極限：
（1）$\underset{lim}{x→3}$x²=9；
（2）$\underset{lim}{x→1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{3}{2}$；
（3）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1；
（4）$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$=3；
（5）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{{x}^{2}+x}$=∞；
（6）$\underset{lim}{x→{x}_{0}}$$\sqrt{x}=\sqrt{{x}_{0}}$．

Answer 1

分析 只要說明當x無限接近于一個數或無窮大時，函數f（x）都無限的趨近于一個常數a，這樣便可得出$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$或$\underset{lim}{x→∞}f（x）=a$，按照這個方法去證明每個函數的極限即可．

解答 證明：（1）x無限趨近于3時，x²無限趨近于9；
∴x無限趨近于3時，x²的極限為9；
即$\underset{lim}{x→3}{x}^{2}=9$；
（2）$\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$（x≠1）；
∴x無限趨近于1時，$\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}$無限趨近于$\frac{3}{2}$；
即$\underset{lim}{x→1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{3}{2}$；
（3）x→0時，$\frac{1-{2x}^{2}}{1+{x}^{2}}$無限趨近于1；
∴$\underset{lim}{x→0}\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=1$；
（4）$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}=\frac{3（{x}^{2}+1）+x-3}{{x}^{2}+1}=3+\frac{1-\frac{3}{x}}{x+\frac{1}{x}}$；
∴x→∞時，$\frac{3}{x}，\frac{1}{x}$都無限趨近于0，∴$\frac{1-\frac{3}{x}}{x+\frac{1}{x}}$無限趨近于0；
∴$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$無限趨近于3；
∴$\underset{lim}{x→∞}\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}=3$；
（5）x→0時，x²+x無限趨近于0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}+x}$無限趨近于∞；
∴$\underset{lim}{x→0}\frac{1}{{x}^{2}+x}$；
（6）x→x₀時，$\sqrt{x}$無限的趨近于$\sqrt{{x}_{0}}$；
∴$\underset{lim}{x→{x}_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{{x}_{0}}$．

點評 考查函數極限的定義，以及函數極限的表示，以及用函數極限的定義證明一個函數的極限的方法和過程．