Question

6．用函數(shù)極限的定義證明下列極限：
（1）$\underset{lim}{x→3}$x²=9；
（2）$\underset{lim}{x→1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{3}{2}$；
（3）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1；
（4）$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$=3；
（5）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{{x}^{2}+x}$=∞；
（6）$\underset{lim}{x→{x}_{0}}$$\sqrt{x}=\sqrt{{x}_{0}}$．

Answer 1

分析 只要說(shuō)明當(dāng)x無(wú)限接近于一個(gè)數(shù)或無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f（x）都無(wú)限的趨近于一個(gè)常數(shù)a，這樣便可得出$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$或$\underset{lim}{x→∞}f（x）=a$，按照這個(gè)方法去證明每個(gè)函數(shù)的極限即可．

解答 證明：（1）x無(wú)限趨近于3時(shí)，x²無(wú)限趨近于9；
∴x無(wú)限趨近于3時(shí)，x²的極限為9；
即$\underset{lim}{x→3}{x}^{2}=9$；
（2）$\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$（x≠1）；
∴x無(wú)限趨近于1時(shí)，$\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}$無(wú)限趨近于$\frac{3}{2}$；
即$\underset{lim}{x→1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}=\frac{3}{2}$；
（3）x→0時(shí)，$\frac{1-{2x}^{2}}{1+{x}^{2}}$無(wú)限趨近于1；
∴$\underset{lim}{x→0}\frac{1-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=1$；
（4）$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}=\frac{3（{x}^{2}+1）+x-3}{{x}^{2}+1}=3+\frac{1-\frac{3}{x}}{x+\frac{1}{x}}$；
∴x→∞時(shí)，$\frac{3}{x}，\frac{1}{x}$都無(wú)限趨近于0，∴$\frac{1-\frac{3}{x}}{x+\frac{1}{x}}$無(wú)限趨近于0；
∴$\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$無(wú)限趨近于3；
∴$\underset{lim}{x→∞}\frac{3{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}=3$；
（5）x→0時(shí)，x²+x無(wú)限趨近于0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}+x}$無(wú)限趨近于∞；
∴$\underset{lim}{x→0}\frac{1}{{x}^{2}+x}$；
（6）x→x₀時(shí)，$\sqrt{x}$無(wú)限的趨近于$\sqrt{{x}_{0}}$；
∴$\underset{lim}{x→{x}_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{{x}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極限的定義，以及函數(shù)極限的表示，以及用函數(shù)極限的定義證明一個(gè)函數(shù)的極限的方法和過(guò)程．