Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x-2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出原函數(shù)極值點(diǎn)
（2）利用閉區(qū)間求最值的方法，在區(qū)間[1，3]上，最大值要么是f（1）要么是f（3），只需比較二者大小即可．

解答 解：（1）f'（x）=x-1-$\frac{2}{x}$
=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值f（2）=-2ln2，
函數(shù)無(wú)極大值點(diǎn)．
（2）在區(qū)間[1，3]上，
f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（3）=$\frac{3}{2}-2ln3$，
∵ln3＞1，
∴f（1）＞f（3），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值為f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考察了利用導(dǎo)函數(shù)求極值和最值的方法，常考題型．