Question

11．f（x）的定義域為[-1，1]，且對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，當x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式f（x-2）＜f（2x）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行求解即可．

解答 解：（1）∵對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，當x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
∴若x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，此時f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此時函數(shù)為增函數(shù)，
若x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，此時f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此時函數(shù)為增函數(shù)，
綜上函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴不等式f（x-2）＜f（2x）等價為$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-2≤1}\\{-1≤2x≤1}\\{x-2＜2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x＞-2}\end{array}\right.$，此時不等式無解，即不等式的解集為∅．

點評 本題抽象函數(shù)的應用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．重點考察函數(shù)的單調(diào)性的應用．