Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB，AD，AP兩兩垂直，長度分別為1，2，2，且$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{AB}$．
（1）求直線PC與BD所成角的余弦值；
（2）求直線PB平面PCD的所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即可建立坐標系：以A為坐標原點，分別以邊AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，然后即可根據(jù)已知條件求出點P，A，B，C，D點的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{BD}$的坐標，根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出這兩向量夾角的余弦值，從而得出直線PC和BD所成角的余弦值；
（2）設出平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DC}}\end{array}\right.$，進而得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，從而求出$\overrightarrow{n}$，向量$\overrightarrow{PB}$的坐標可以求出，從而可根據(jù)向量夾角余弦的坐標公式求出cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$，從而PB和平面PCD所成角的正弦值便為|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$|．

解答 解：（1）以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系；
則：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；
∵$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}$；
∴C（2，2，0）；
∴$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2），\overrightarrow{BD}=（-1，2，0）$；
∴cos$＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{BD}＞$=$\frac{2}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$；
∴直線PC與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
（2）$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=z}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$；
又$\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$；
設直線PB和平面PCD所成角為θ，則：
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
∴直線PB平面PCD的所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角，直線和平面所成角的方法，能求空間點的坐標，向量坐標的數(shù)乘運算，向量夾角余弦的坐標公式，理解平面法向量的概念，弄清直線和平面所成角，與直線的方向向量和法向量所成角的關系．