Question

5．已知數列{a_n}滿足：a₁=c，2a_n+1=a_n+l（c≠1，n∈N^*），記數列{a_n}的前n項和為S_n．
（I）令b_n=a_n-l，證明：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求最小的實數c，使得對任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．

Answer 1

分析 （I）化簡可得2（a_n+1-1）=a_n-1，從而可證明數列{b_n}是以c-1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列；
（Ⅱ）由（I）知b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，從而解得a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，從而求其前n項和，從而化為函數的最值問題．

解答 解：（I）證明：∵2a_n+1=a_n+l，
∴2a_n+1-2=a_n-1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴2b_n+1=b_n，
且b₁=a₁-l=c-1≠0，
故數列{b_n}是以c-1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列；
（Ⅱ）由（I）解得，b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，
故a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故S_n=$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$=$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{c-1}{{2}^{i-1}}$+1）=（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n；
∵對任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．
∴（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n≥3對任意n∈N^*都成立，
即對任意n∈N^*，2（c-1）≥$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$恒成立，
∵當n≥3時，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$≤0，
∴當n=1時，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$取到最大值4，
∴2（c-1）≥4，
故c≥3．

點評 本題考查了構造法的應用及等比數列的判斷與應用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應用．