Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=c，2a_n+1=a_n+l（c≠1，n∈N^*），記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（I）令b_n=a_n-l，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求最小的實(shí)數(shù)c，使得對(duì)任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)可得2（a_n+1-1）=a_n-1，從而可證明數(shù)列{b_n}是以c-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，從而解得a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，從而求其前n項(xiàng)和，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答 解：（I）證明：∵2a_n+1=a_n+l，
∴2a_n+1-2=a_n-1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴2b_n+1=b_n，
且b₁=a₁-l=c-1≠0，
故數(shù)列{b_n}是以c-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）解得，b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，
故a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故S_n=$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$=$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{c-1}{{2}^{i-1}}$+1）=（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n；
∵對(duì)任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．
∴（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n≥3對(duì)任意n∈N^*都成立，
即對(duì)任意n∈N^*，2（c-1）≥$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$恒成立，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$≤0，
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$取到最大值4，
∴2（c-1）≥4，
故c≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題的應(yīng)用．