Question

16．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，且在（0，1）上f（x）=3^x，則f（log₃54）=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由條件和函數(shù)周期性的定義求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性、奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的解析式，逐步轉(zhuǎn)化由運算性質(zhì)求出f（log₃54）的值．

解答 解：由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$得，f（x+4）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
所以函數(shù)f（x）的周期是4，
因為f（x）定義在R上的奇函數(shù)，且3＜log₃54＜4，
且在（0，1）上f（x）=3^x，
所以f（log₃54）=f（log₃54-4）=-f（4-log₃54）
=-（${3}^{4-lo{g}_{3}^{54}}$）=-$\frac{81}{54}$=-$\frac{3}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)，及函數(shù)的周期性、奇函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，利用條件求出函數(shù)的周期、以及利用函數(shù)的性質(zhì)逐步轉(zhuǎn)化自變量是解題的關(guān)鍵．