Question

20．定義max{a，b}表示實數(shù)a，b中的較大的數(shù)．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₅=4a，記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₆的值為7255．

Answer 1

分析 ①當(dāng)0＜a＜2時，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，…，可知：a_n+5=a_n，數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列．即可得出．②當(dāng)2≤a時，同理可得．

解答 解：①當(dāng)0＜a＜2時，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，同理可得：a₄=$\frac{8}{a}$，a₅=4，a₆=a，a₇=1，…，
可知：a_n+5=a_n，數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列．
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1．
∴S₂₀₁₆=5（1+1+4+8+4）+1=7255．
②當(dāng)2≤a時，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$≤2，同理可得：a₄=4，a₅=2a≥4，a₆=a＞2，a₇=1，…，
可知：a_n+5=a_n，數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列．
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，舍去．
綜上可得：S₂₀₁₆=7255．
故答案為：7255．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．