Question

6．已知函數(shù)f（x）=x-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]上的最大值．（其中e是自然數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]遞減，在（1，e]遞增，即有f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值，求得端點(diǎn)的函數(shù)值，比較即可得到最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，x＞0，
由f′（x）＞0可得x＞1；由f′（x）＜0可得0＜x＜1．
即有f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]遞減，在（1，e]上遞增，
即有x=1處取得最小值f（1）=1，
由f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，f（e）=e-1，
可得f（x）的最大值為$\frac{1}{{e}^{2}}$+2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．