【題目】在直角梯形中,,,,為的中點(diǎn),如圖將沿折到的位置,使,點(diǎn)在上,且,如圖2.
求證:平面;
求二面角的正切值;
在線段上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,確定的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3) 為 的中點(diǎn).
【解析】
(法一)
(1)由題意可知,題圖中,易證,由根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面;
(2)三垂線法:由考慮在上取一點(diǎn),使得,從而可得,所以平面,過作交于,連接,為二面角的平面角,在中求解即可;
(3)取中點(diǎn),所以,又由題意,從而可得,所以有平面.
(法二:空間向量法)
(1)同法一;
(2)以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,易知平面的法向為,求平面的法向量,代入公式求解即可;
(3)由平面,所以,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可求出結(jié)果.
(1)證明:在題圖中,由題意可知,,為正方形
所以在題圖中,,,且四邊形是邊長為的正方形
因為,,所以平面
又平面,所以
又,所以平面
(2)在上取一點(diǎn),使,連接
因為,所以
所以平面
過作交于,連接
則平面
所以
所以為二面角的平面角,
在中,,,,
即二面角的正切值為
(3)當(dāng)為中點(diǎn)時,平面
理由如下:取的中點(diǎn),連接交于
連接,
所以,又由題意
平面,平面
所以平面
即當(dāng)為的中點(diǎn)時,平面
解法二:(1)同方法一
(2)如圖,以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系
,,,,,
易知平面的法向量為
設(shè)平面的法向量為,且
由,得:
令,得:,;則
所以
所以
即二面角的正切值為
設(shè)存在,使得平面
設(shè)
所以,由平面
所以,所以
即,即為的中點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去到直線的距離等于1.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線 與曲線交于,兩點(diǎn),求證:直線與直線的傾斜角互補(bǔ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上,點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn),的面積的最大值為,在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的兩直線,分別與橢圓交于點(diǎn),和點(diǎn),,且,比較與的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在軸上,過點(diǎn)的直線交橢圓交于,兩點(diǎn).
①若直線的斜率為,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②設(shè)直線,,的斜率分別為,,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè).
(i)若函數(shù)在上恒成立,求的最大值;
(ii)當(dāng)時,判斷函數(shù)有幾個零點(diǎn),并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為4,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1﹣y2|值為_____.
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