Question

函數(shù)f（x）=sinx（x＞0）的零點(diǎn)按由小到大的順序排成數(shù)列a_n
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3ⁿa_n，若數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出函數(shù)的零點(diǎn)，得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=3ⁿa_n，其中n∈N^*的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由y=sinx=0得，x=nπ，即x=nπ，n∈N^•，
它在（0，+∞）內(nèi)的全部零點(diǎn)構(gòu)成以π為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=nπ．
（2）∵b_n=3ⁿa_n=nπ•3ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=π（1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ）①
則3T_n=π（1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹）②
①-②得，-2T_n=π（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）=π（

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹），
則T_n=π（

2n-1

4

•3n+1+

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列求和，根據(jù)錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．