Question

13．如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AC=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，DC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC．
（1）求∠DAC的值；
（2）當(dāng)sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值時(shí)，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中使用余弦定理解出cos∠DAC；
（2）由（1）知∠BAC+∠ABC=$\frac{2π}{3}$，利用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)sin∠BAC+sin∠ABC，求出其取得最大值時(shí)各角的大小，分別求出△ABC和△ACD的面積．

解答 解：（1）在△ACD中，由余弦定理得：cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{4+4\sqrt{3}}{8+8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠DAC=$\frac{π}{3}$．
（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=$\frac{π}{3}$．
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{2π}{3}$．
∴sin∠BAC+sin∠ABC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）=$\frac{3}{2}sinB$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∴當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時(shí)，sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值．
此時(shí)∠BAC=∠B=$\frac{π}{3}$．∴△ABC是等邊三角形．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
S_△ACD=$\frac{1}{2}AC•AD•sin∠DAC$=$\frac{1}{2}×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3+$\sqrt{3}$．
∴四邊形ABCD的面積為S=S_△ABC+S_△ACD=3+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，屬于中檔題．