Question

以正四棱臺(tái)（底面為正方形，各個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形）為模型，驗(yàn)證棱臺(tái)的平行于底面的截面的性質(zhì)：設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S₁，下底面面積為S₂，平行于底面的截面將棱臺(tái)的高分成上、下比為m：n的兩段，則截面面積S滿足下列關(guān)系：

S

=

m S2 +n S1

m+n

，當(dāng)m=n時(shí)，則

S

=

S1+ S2

2

（中截面面積公式）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積,棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：本題考查的是棱臺(tái)的截面面積問題．在解答時(shí)，首先要考慮好相似比與面積比的關(guān)系，然后利用還臺(tái)為錐的思想充分利用里邊的相似關(guān)系即可獲得問題的解答．

解答： 解：驗(yàn)證如下：由題意可知：設(shè)還臺(tái)為錐后以棱臺(tái)的上底面為底面的棱柱的高與截面截得的上半段高的比為x：m，
則由相似關(guān)系可知：

x

m+n+x

=

S1

S2

，
∴x=

(m+n) S1

S2 - S1

，
又因?yàn)椋?span id="ubywpxi" class="MathJye">

m

x+m

=

S1

S

，
∴

(m+n) S1 S2 - S1

(m+n) S1 S2 - S1 +m

=

S1

S

，
解得：S=(

m S2 +n S1

m+n

)2．
可得

S

=

m S2 +n S1

m+n

，
當(dāng)m=n時(shí)，

S

=

S1+ S2

2

．

點(diǎn)評：本題考查的是棱臺(tái)的截面面積問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了面積比是相似比的平方的知識(shí)、還臺(tái)為錐的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)反思．