Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求證：平面AB₁C∥平面A₁C₁D
（2）求二面角B₁-AC-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得四邊形AB₁C₁D是平行四邊形，由此得到AB₁∥面A₁C₁D，同理B₁C∥面A₁C₁D，從而能證明平面AB₁C∥平面A₁C₁D．
（2）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OB₁，由已知條件推導(dǎo)出∠B₁OB為二面角B₁-AC-B的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-B的正切值．

解答： （1）證明：在正方形ABCD與正方形BCC₁B₁中，
AD

∥

.

BC，BC

∥

.

B₁C₁，
∴AD

∥

.

B₁C₁，∴四邊形AB₁C₁D是平行四邊形，
∴AB₁∥C₁D，又C₁D?平面A₁C₁D，AB₁不包含于平面A₁C₁D，
∴AB₁∥面A₁C₁D，同理B₁C∥面A₁C₁D，
又AB₁∩B₁C=B₁，AB₁與B₁C都在平面AB₁C內(nèi)，
∴平面AB₁C∥平面A₁C₁D．
（2）解：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OB₁，
由正方體的性質(zhì)知△ABC與△AB₁C為等腰三角形，
∴OB⊥AC，OB₁⊥AC，
且AC為面ACB與面ACB₁的交線，
∴∠B₁OB為二面角B₁-AC-B的平面角，
令棱長為1，解得OB=

2

2

，BB₁=1，
∴tan∠B₁OB=

2

．
∴二面角B₁-AC-B的正切值為

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．