已知a，b，c都是正數(shù)，求證：
（1）aabbcc≥a 
b+c
2
b 
a+c
2
c 
a+b
2
；  
（2）
a+b
2
≥
a+babba
．
考點：不等式的證明
專題：推理和證明
分析：（1）利用綜合法，可得
aabbcc
a
b+c
2
b
a+c
2
c
a+b
2
=(
a
b
)
a-b
2
•(
a
c
)
a-c
2
•(
b
c
)
b-c
2
，利用指數(shù)函數(shù)y=(
a
b
)x的單調性質可得(
a
b
)
a-b
2
≥1，(
a
c
)
a-c
2
≥1，(
b
c
)
b-c
2
≥1，從而可證結論成立；
（2）利用基本不等式
a+b
2
≥
ab
，再利用分析法證明即可．
解答： 證明：（1）∵a，b，c都是正數(shù)，
∴
aabbcc
a
b+c
2
b
a+c
2
c
a+b
2
=(
a
b
)
a-b
2
•(
a
c
)
a-c
2
•(
b
c
)
b-c
2
，
∵a，b，c都是正數(shù)，當a≥b時，
a
b
≥1，
a-b
2
≥0，由由指數(shù)函數(shù)y=(
a
b
)x的單調遞增性質可得(
a
b
)
a-b
2
≥1，
當0＜a＜b時，0＜
a
b
＜1，
a-b
2
＜0，由指數(shù)函數(shù)y=(
a
b
)x的單調遞減性質可得(
a
b
)
a-b
2
≥1，
綜上所述，(
a
b
)
a-b
2
≥1；同理可知，(
a
c
)
a-c
2
≥1，(
b
c
)
b-c
2
≥1；
∴(
a
b
)
a-b
2
•(
a
c
)
a-c
2
•(
b
c
)
b-c
2
≥1，即aabbcc≥a 
b+c
2
b 
a+c
2
c 
a+b
2
；  
（2）依題意，
a+b
2
≥
ab
，
要證
a+b
2
≥
a+babba
，只需證明?
ab
≥
a+babba
，即證(ab)
a+b
2
≥abba．
∵
(ab)
a+b
2
abba
=a
a+b
2
-b•b
a+b
2
-a=(
a
b
)
a-b
2
≥1，
∴(ab)
a+b
2
≥abba成立，
∴原不等式成立．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法與分析法的應用，突出考查等價轉化思想與指數(shù)函數(shù)的單調性質，考查推理論證能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線PA和割線PB，且PB=9，C是圓上一點使得BC=4，∠BAC=∠APB，則AB=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）；
（2）求證：f（x2）-2f（x）=0
（3）已知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式f[x（x-
1
2
）]＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
x
+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)f（x）+2x的極值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在x∈（1，+∞）時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求證：平面AB1C∥平面A1C1D
（2）求二面角B1-AC-B的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）=
2x-b
2x+a
．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立，求k的取值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知任意角α的終邊經(jīng)過點P（-3，m），且cosα=-
3
5

（1）求m的值．
（2）求sinα與tanα的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=a-
2
2x+1
（a∈R）
（1）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？
（2）證明函數(shù)f（x）的單調性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2），導函數(shù)為f′（x）=x2+cosx且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x2-x）＞0的實數(shù)x的集合是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案