Question

7．如圖，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右準(zhǔn)線L上兩動(dòng)點(diǎn)M，N，F(xiàn)₂為△F₁MN的垂心．
（1）若|F₁M|=|F₂N|=2$\sqrt{5}$，求a，b的值；
（2）若$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$與$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$共線，求|$\overrightarrow{MN}$|的值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b的方程組，得到a，b的關(guān)系，再由隱含條件求得c，得到橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)$M（\sqrt{2}a，{y}_{1}），N（\sqrt{2}a，{y}_{2}）$，可得$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（\frac{3\sqrt{2}}{2}a，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}=（\frac{\sqrt{2}}{2}a，{y}_{2}）$．由F₂為△F₁MN的垂心知，$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{2}N}=0$，得${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{2}{a}^{2}$＜0，再由|F₁M|=|F₂N|=2$\sqrt{5}$聯(lián)立求得a，b的值；
（2）由（1）知：$\overrightarrow{{F}_{1}M}+\overrightarrow{{F}_{2}N}=（2\sqrt{2}a，{y}_{1}+{y}_{2}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}=（\sqrt{2}a，0）$，再由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$與$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$共線知，y₁+y₂=0，求出$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}$后得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，得a²=2b²，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
則${F}_{1}（-\frac{\sqrt{2}}{2}a，0）$，${F}_{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}a，0）$，L：x=$\sqrt{2}a$．
設(shè)$M（\sqrt{2}a，{y}_{1}），N（\sqrt{2}a，{y}_{2}）$，則$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（\frac{3\sqrt{2}}{2}a，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}=（\frac{\sqrt{2}}{2}a，{y}_{2}）$．
由F₂為△F₁MN的重心知，$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{2}N}=0$，得${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{2}{a}^{2}$＜0，①
由|F₁M|=|F₂N|=2$\sqrt{5}$，得$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=2\sqrt{5}$，②
$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}=2\sqrt{5}$，③
由①②③聯(lián)立方程組，消去y₁，y₂，得a²=4，∴a=2，b=$\sqrt{2}$；
（2）由（1）知：$\overrightarrow{{F}_{1}M}+\overrightarrow{{F}_{2}N}=（2\sqrt{2}a，{y}_{1}+{y}_{2}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}=（\sqrt{2}a，0）$，
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$與$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$共線知，y₁+y₂=0，
∴$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}=（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}=6{a}^{2}$，
∴$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{6}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．